Типичный урок Физики :DDD - Duration: 1:53. Илья Евдокимов 45,125 views. Сценка "Контрольная работа по геометрии ". САПР-журнал Статьи, уроки и материалы для специалистов в области САПР. SpaceClaim отличается от типичной CAD-программы прежде всего в том, что использует прямое моделирование геометрии. Типичный урок Физики :DDD - Duration: 1:53. Илья Евдокимов 45,125 views. Сценка "Контрольная работа по геометрии" . Одержимый геометрией Исаак Кушнир — геометр с мировым признанием. Без эмоций невозможно проведение урока ни литературы, ни математики. Геометрия для меня намного эмоциональнее, нежели литература, потому я выбрал геометрию. Почему Это типичная ложь советской школы. Бесплатные уроки, тесты и тренажёры по геометрии за 8 класс по школьной программе. Используйте конспект уроков раздела « геометрия, 8 класс». Типичный урок Химии(как на самом деле учат). Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 1 / Хабрахабр. Здравствуйте, уважаемые хабравчане! Это моя вторая статья, и мне хотелось бы поговорить о вычислительной геометрии. Немного истории. Я являюсь студентом уже 4 курса математического факультета, и до того как я начал заниматься программированием, я считал себя математиком на 1. В конце первого курса мой преподаватель по информатике, который занимается олимпиадным программированием, обратил на меня внимание. Треугольник, прямоугольник, овал – нет, у нас не урок геометрии, просто я решил Типичные представительницы: Мэрилин Монро. 16 лет Грудь- 84 Талия- 61 см Бедра- 96 Вес-53 Какой у меня тип фигуры?))). Так потихоньку меня начали приучать к олимпиадному. Типичный для меня урок химии алгебры. Типичная алгебра шестым уроком. На моих уроках геометрии для учащихся стало уже привычным решать задачи с использованием обычной веревки. В процессе обучения геометрии знакомлю учащихся с некоторыми геометрическими приборами. Им как раз не хватало одного математика в команду. Так потихоньку меня начали приучать к олимпиадному программированию. Скажу честно, для меня это было очень сложно: для человека, который узнал слово Delphi на первом курсе. Однако мой преподаватель оказался очень грамотным специалистом и нашел хороший подход ко мне. Он начал давать мне математические задачи, который я сначала решал чисто математически, а уже потом писал код (с грехом пополам). Мне очень нравится подход моего преподавателя: «разберись с этой темой, а потом расскажи нам, да так чтоб мы все поняли». Итак, первой на самом деле важной задачей, с которой мне поручили разобраться, было именно вычислительная геометрия, необходимо было разобраться в типичных задач этого раздела информатики. И я решил подойти к этой задаче со всей ответственностью. Я помню, как долго мучился с этими задачами, чтобы они прошли все тесты на сайте informatics. Зато теперь я очень рад, что прошел через все испытания и знаю, что же такое задачи вычислительной геометрии. Вступление. «Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач. Такие задачи возникают в компьютерной графике, проектировании интегральных схем, технических устройств и др. Исходными данными в такого рода задачах могут быть множество точек, набор отрезков, многоугольники и т. Результатом может быть либо ответ на какой- то вопрос, либо какой- то геометрический объект». Поскольку статья является достаточно большой я решил разбить ее на две части: первая часть посвящена многоугольникам, вторая – взаимному расположению различных геометрических объектов. Немного теории о векторах. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого- либо определенного направления. Длиной ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB. Длина нулевого вектора считается равной нулю. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора AB и CD коллинеарны и если при этом лучи AB и CD сонаправлены, то векторы AB и CD называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы AB и CD называются противоположно направленными. Нулевой вектор принято считать сонаправленным с любым вектором. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то полагают . Косое произведение векторов в задачах вычислительной геометрии занимает такое же почетное место, как рекурсии в комбинаторике. Это своего рода жемчужина вычислительной геометрии. Практически каждая задача вычислительной геометрии имеет более простое решение с помощью косового произведение вместо лобового решения. А теперь займемся практикой. Начнем с треугольников. Задача . Решение. Понятно, что здесь нужно только проверить неравенство треугольника: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Интересно, при изучении неравенства треугольника только ли у меня возник вопрос: не могут ли отрицательные числа тоже удовлетворять этим трем неравенствам? Если мы сложим каждое неравенство, то получим a > 0, b > 0, c > 0. Поэтому неравенство треугольника является необходимым и достаточным условием существования треугольника. Задача . Однако поскольку расстояние между двумя точками A(x. B(x. 2, y. 2) вычисляется по формуле . Оказывается, что если треугольник задан координатами своих вершин, то вычислять длины его сторон и проверять неравенство треугольника не требуется. В этом случае треугольника не существует тогда и только тогда, когда данные три точки лежат на одной прямой. А это легко проверяется через косое произведение векторов. Если оно равно нулю, то векторы коллинеарные, то есть все три точки лежат на одной прямой. Во всех следующих задачах будем считать, что треугольник существует, поскольку процедуру проверки существования треугольника мы только что рассмотрели. Задача . Определить тип треугольника: тупоугольный, прямоугольный или остроугольный. Решение. Вспомним, что представляют собой каждый вид треугольника. Из курса геометрии известно, что напротив большей стороны лежит больший угол (он нам и нужен). Поэтому если мы выясним чему равен больший угол, то поймем тип треугольника: Угол больше 9. Однако немного поразмыслив можно понять, что вычислять косинус угла не обязательно, необходимо учесть лишь его знак: Если cos. Решение. Аналогично задаче 2 можно сказать, что эта задача полностью сводится к предыдущей задаче (так оно и есть). Однако, как и во второй задаче, решение можно упростить. Вообще, если треугольник задан координатами своих вершин, то всегда легче работать с ним через вектора, нежели вычислять стороны. Аналогично предыдущей задаче, необходимо определить каким является наибольший из углов треугольника. Вид угла легко определяется по знаку скалярного произведения образующих его векторов: оно положительно для острого угла, равно нулю для прямого угла и отрицательно для тупого угла. Поэтому необходимо посчитать все три скалярных произведения и перемножить их и по знаку данного числа можно судить о типе треугольника. Задача . Решение. Очевидно решение, заключается в применение формулы Герона. Кстати, никого не интересовало доказательство этой формулы? Доказательство. Вот и все! Задача . Геометрически косое произведение двух векторов определяет ориентированную площадь параллелограмма натянутого на эти вектора. Поскольку диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника, то можем найти площадь нашего треугольника, как половину площади параллелограмма. Для векторов a(x. S = (x. 1y. 2 — x. Задача . Определить лежит ли точка внутри, на границе или вне этого треугольника. Решение. У этой задачи есть два принципиально разных решения. Начнем с наименее привлекательного. Метод площадей. Если сумма площадей треугольников AKB, AKC, BKC (не ориентированных, а «обычных») больше площади треугольника ABC точка лежит вне треугольника. Если же сумма первых трех площадей равна четвертой, то нужно проверить, не равна ли нулю одна из трех площадей. Если равна, то точка лежит на границе треугольника, иначе – внутри. Этот метод не очень хороший. Поскольку здесь используются сравнение чисел с плавающей точкой, а это в свою очередь может привести к принятию неверного решения при сравнении. Второй метод опять таки опирается на вектора, он намного эффективнее во всех отношениях. Проверка полуплоскостей. Если хотя бы одна из сторон треугольника «разводит» противолежащую ей вершину и точку по разным полуплоскостям, то точка лежит вне треугольника. Иначе, если точка принадлежит хотя бы одной из прямых, содержащих стороны треугольника, то она находится на границе треугольника. Иначе точка лежит внутри треугольника. При этом он может быть как выпуклым, так и не выпуклым. Данную задачу можно решить двумя способами: вычисляя ориентированные площади трапеций и треугольников. Метод трапеций. Для того чтобы посчитать площадь многоугольника нужно разбить его на трапеции, так как это показано на рисунке, а затем сложить ориентированные площади полученных трапеций это будет ориентированной площадью исходного многоугольника. В результате, сложив ориентированные площади этих треугольников, мы получим опять- таки ориентированную площадь многоугольника. S = SOA1. A2 + SOA2. A3 + SOA3. A4 + SOA4. A5 + SOA5. A6 + SOA6. A1. Как вы видите задача вычисления площади многоугольника достаточна проста. Не знаю, почему, но мне больше нравится решать эту задачу методом разбиения на трапеции (наверно потому, что на всех олимпиадах я ее так решал). Тем более, что при втором решении площади треугольников надо вычислять через косое произведение. О формуле Герона надо забыть!!! Задача . Необходимо проверить является ли многоугольник выпуклым. Решение. Напомню, что многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Задача опять сводится к вычислению косового произведения векторов, а именно у выпуклого многоугольника знаки косых произведений . Поэтому если мы знаем направление обхода, то знак косых произведений для выпуклого многоугольника одинаков: он неотрицателен при обходе против часовой стрелки и неположителен при обходе по часовой стрелки. Задача . Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе). Решение. Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательную задачу: отрезок задан координатами своих концов, являющихся целыми числами. Необходимо посчитать количество целочисленных точек лежащих на отрезке. Понятно, что если отрезок вертикальный или горизонтальный, то необходимо вычесть координаты концов и добавить единицу. Интерес представляет случай, когда отрезок не является вертикальным или горизонтальным. Оказывается в этом случае необходимо достроить отрезок до прямоугольного треугольника и ответом будет число равное наибольшему общему делителю длин катетов этого треугольника плюс единица. Для любого многоугольника с целочисленными координатами вершин справедлива формула Пика: S = n + m/2 — 1, где S – площадь многоугольника, n – количество целых точек лежащих строго внутри многоугольника, m – количество целых точек лежащих на границе многоугольника. Поскольку площадь многоугольника мы знаем как вычислять, то S известно.
0 Comments
Leave a Reply. |
AuthorWrite something about yourself. No need to be fancy, just an overview. Archives
November 2017
Categories |